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solverMLE(...,Saturate=>...) -- whether to saturate

Synopsis

Description

solverMLE(...,Saturate=>...) is set to true by default. If we set Saturate to false in solverMLE, saturation will not be performed when computing the score equations of the log-likelihood function, see scoreEquations(...,Saturate=>...).

If the ideal returned by scoreEquations has positive dimension, solverMLE gives this ideal as output.

On the other hand, if we obtain a zero-dimensional ideal in scoreEquations, solverMLE computes the solutions of this polynomial system and returns:

* the maximal value of the log-likelihood function attained by positive definite matrices corresponding to such solutions,

* the positive definite matrices where the maximum is attained,

* the degree of the zero-dimensional ideal.

Be aware that this output might not correspond to the right MLE.

i1 : G=graph{{1,2},{2,3},{3,4},{1,4}}

o1 = Graph{1 => {2, 4}}
           2 => {1, 3}
           3 => {2, 4}
           4 => {1, 3}

o1 : Graph
 
i2 : U=random(ZZ^4,ZZ^4)

o2 = | 8 8 8 8 |
     | 1 3 8 5 |
     | 3 3 5 2 |
     | 7 7 7 3 |

              4       4
o2 : Matrix ZZ  <-- ZZ
 
i3 : solverMLE(G,U,Saturate=>false)

              131                   131         2     131         2    
o3 = ideal (- ---k   k   k   k    + ---k   k   k    + ---k   k   k    +
               16 1,1 2,2 3,3 4,4    16 3,3 4,4 1,2    16 2,2 3,3 1,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     131         2     131 2   2     131                   131         2    
     ---k   k   k    - ---k   k    + ---k   k   k   k    + ---k   k   k    -
      16 1,1 4,4 2,3    16 1,4 2,3    8  1,2 1,4 2,3 3,4    16 1,1 2,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     131 2   2                         2          2      83                  
     ---k   k    + k   k   k    - k   k    - k   k   , - --k   k   k   k    +
      16 1,2 3,4    2,2 3,3 4,4    4,4 2,3    2,2 3,4    16 1,1 2,2 3,3 4,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     83         2     83         2     83         2     83 2   2    
     --k   k   k    + --k   k   k    + --k   k   k    - --k   k    +
     16 3,3 4,4 1,2   16 2,2 3,3 1,4   16 1,1 4,4 2,3   16 1,4 2,3  
     ------------------------------------------------------------------------
     83                   83         2     83 2   2                   
     --k   k   k   k    + --k   k   k    - --k   k    + k   k   k    -
      8 1,2 1,4 2,3 3,4   16 1,1 2,2 3,4   16 1,2 3,4    1,1 3,3 4,4  
     ------------------------------------------------------------------------
          2          2      3                   3         2     3         2  
     k   k    - k   k   , - -k   k   k   k    + -k   k   k    + -k   k   k   
      3,3 1,4    1,1 3,4    2 1,1 2,2 3,3 4,4   2 3,3 4,4 1,2   2 2,2 3,3 1,4
     ------------------------------------------------------------------------
       3         2     3 2   2                         3         2    
     + -k   k   k    - -k   k    + 3k   k   k   k    + -k   k   k    -
       2 1,1 4,4 2,3   2 1,4 2,3     1,2 1,4 2,3 3,4   2 1,1 2,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     3 2   2                         2          2      21                  
     -k   k    + k   k   k    - k   k    - k   k   , - --k   k   k   k    +
     2 1,2 3,4    1,1 2,2 4,4    4,4 1,2    2,2 1,4     4 1,1 2,2 3,3 4,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     21         2     21         2     21         2     21 2   2    
     --k   k   k    + --k   k   k    + --k   k   k    - --k   k    +
      4 3,3 4,4 1,2    4 2,2 3,3 1,4    4 1,1 4,4 2,3    4 1,4 2,3  
     ------------------------------------------------------------------------
     21                   21         2     21 2   2                   
     --k   k   k   k    + --k   k   k    - --k   k    + k   k   k    -
      2 1,2 1,4 2,3 3,4    4 1,1 2,2 3,4    4 1,2 3,4    1,1 2,2 3,3  
     ------------------------------------------------------------------------
          2          2      101                   101         2    
     k   k    - k   k   , - ---k   k   k   k    + ---k   k   k    +
      3,3 1,2    1,1 2,3     8  1,1 2,2 3,3 4,4    8  3,3 4,4 1,2  
     ------------------------------------------------------------------------
     101         2     101         2     101 2   2     101                  
     ---k   k   k    + ---k   k   k    - ---k   k    + ---k   k   k   k    +
      8  2,2 3,3 1,4    8  1,1 4,4 2,3    8  1,4 2,3    4  1,2 1,4 2,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     101         2     101 2   2                                    
     ---k   k   k    - ---k   k    - 2k   k   k    - 2k   k   k    +
      8  1,1 2,2 3,4    8  1,2 3,4     3,3 4,4 1,2     1,4 2,3 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
           2      21                   21         2     21         2    
     2k   k   , - --k   k   k   k    + --k   k   k    + --k   k   k    +
       1,2 3,4     4 1,1 2,2 3,3 4,4    4 3,3 4,4 1,2    4 2,2 3,3 1,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     21         2     21 2   2     21                   21         2    
     --k   k   k    - --k   k    + --k   k   k   k    + --k   k   k    -
      4 1,1 4,4 2,3    4 1,4 2,3    2 1,2 1,4 2,3 3,4    4 1,1 2,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     21 2   2                           2                     
     --k   k    - 2k   k   k    + 2k   k    - 2k   k   k   , -
      4 1,2 3,4     2,2 3,3 1,4     1,4 2,3     1,2 2,3 3,4   
     ------------------------------------------------------------------------
     5                   5         2     5         2     5         2    
     -k   k   k   k    + -k   k   k    + -k   k   k    + -k   k   k    -
     2 1,1 2,2 3,3 4,4   2 3,3 4,4 1,2   2 2,2 3,3 1,4   2 1,1 4,4 2,3  
     ------------------------------------------------------------------------
     5 2   2                         5         2     5 2   2    
     -k   k    + 5k   k   k   k    + -k   k   k    - -k   k    -
     2 1,4 2,3     1,2 1,4 2,3 3,4   2 1,1 2,2 3,4   2 1,2 3,4  
     ------------------------------------------------------------------------
                       2                          9                  
     2k   k   k    + 2k   k    - 2k   k   k   , - -k   k   k   k    +
       1,1 4,4 2,3     1,4 2,3     1,2 1,4 3,4    2 1,1 2,2 3,3 4,4  
     ------------------------------------------------------------------------
     9         2     9         2     9         2     9 2   2    
     -k   k   k    + -k   k   k    + -k   k   k    - -k   k    +
     2 3,3 4,4 1,2   2 2,2 3,3 1,4   2 1,1 4,4 2,3   2 1,4 2,3  
     ------------------------------------------------------------------------
                         9         2     9 2   2                    
     9k   k   k   k    + -k   k   k    - -k   k    - 2k   k   k    -
       1,2 1,4 2,3 3,4   2 1,1 2,2 3,4   2 1,2 3,4     1,2 1,4 2,3  
     ------------------------------------------------------------------------
                       2
     2k   k   k    + 2k   k   )
       1,1 2,2 3,4     1,2 3,4

o3 : Ideal of QQ[k   , k   , k   , k   , k   , k   , k   , k   ]
                  1,1   2,2   3,3   4,4   1,2   1,4   2,3   3,4

Further information

See also

Functions with optional argument named Saturate: